12. 自然数の2乗の和、3乗の和の公式の証明

 7回 スクラッチで算数ドリルを作問 で

の証明は後日示すと書いたが、だいぶ遅くなってしまった。

今回は、これらの証明を示す。

0. 復習 自然数の和の公式の証明

1. 自然数の 2 乗の和の公式の証明

　まず次の式が成り立つことを確認。

　この式を、i が 1 のときから n のときまで縦に並べてみる。

これらの式を足し合わせる。

左辺は 2 の 3 乗が打ち消し合い、順に、n の 3 乗まで打ち消しあう。

右辺は第1項が 1 から n までの2乗の和の3倍、第2項は 1 から n までの和の3倍、

第3項は 1 の和になる。したがって、次の式が得られる。

少し面倒だが、これを変形すると公式が得られる。

2. 自然数の 3 乗の和の公式の証明

　まず次の式が成り立つことを確認。

　この式を、i が 1 のときから n のときまで縦に並べてみる。

これらの式を足し合わせると、次の式が得られる。

これを変形すると公式が得られる。